Probabilités : Loi binomiale - Spécialité
Loi binomiale : Avec un arbre
Exercice 1 : Loi binomiale - construction d'arbre et coefficient binomial
Un professeur décide de noter le retard de chacun de ses élèves. Un an plus tard, il a
établi qu'un jour donné, un élève a pour probabilité \(p = 0,2\) d'arriver en retard. Le professeur
choisit un élève au hasard et regarde s'il arrive en retard pendant les 3 prochains jours à venir. On
peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec
\(S\) le succès, c'est-à-dire que l'élève arrive en retard, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que l'élève
arrive à l'heure.
On peut donc affirmer que le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \( n = 3 \) et \( p = 0,2 \).Dessiner l'arbre de probabilité représentant cette loi.
En comptant les branches de l'arbre, en déduire le coefficient binomial \( \binom{3}{1} \).
Exercice 2 : Loi binomiale - construction d'arbre
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,7\).
Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi, on notera \(S\) le succès et \(E\) l'échec d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi, on notera \(S\) le succès et \(E\) l'échec d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
Exercice 3 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)
On s’intéresse à la population masculine du Gabon. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(755\:009\)
hommes et \(750\:454\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.
On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre
\(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire
que la personne tirée ne soit pas un homme.
Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne
tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\).
Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Exercice 4 : Arbre de probabilités - Dénombrement (2)
Pierre, après avoir observé son entourage, détermine qu'il y a une probabilité \(p = 0,7\) qu'une personne de son entourage sélectionnée au hasard porte un habit de la même couleur que lui un jour donné. Mathématicien dans l'âme, il tire 3 personnes avec remise de son entourage, et regarde si elles portent un habit de la même couleur que lui.
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,7\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne sélectionnée porte un habit de la même couleur que Pierre, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne sélectionnée ne porte pas un habit de la même couleur que Pierre d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
En déduire la probabilité de tomber sur exactement deux personnes de son entourage sur les 3 sélectionnées portant un habit de la même couleur que Pierre.
Exercice 5 : Loi binomiale - construction d'arbre et coefficient binomial
Bonnie et Clyde s'affrontent à pile ou face pour départager leur butin. La pièce qu'ils
choisissent de lancer est cependant truquée, et elle a une probabilité \( p = 0,2 \) de tomber sur
pile. Ils décident de jouer 4 tirages, et pour chaque sortie de pile, Bonnie gagne un tiers
du butin. On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre
\(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la pièce tombe sur pile, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire
que la pièce ne tombe pas sur pile.
On peut donc affirmer que le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \( n = 4 \) et \( p = 0,2 \).Dessiner l'arbre de probabilité représentant cette loi.
En comptant les branches de l'arbre, en déduire le coefficient binomial \( \binom{4}{0} \).